Übungen zu Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

1. Ableitung: f(x) = 3*x^-1 - cos(x)  -->  f'(x) = - 3*x^-2 - (-sin(x)) = - 3/x² + sin(x)
2. 7 Kugeln ziehen
   W'keiten, dass die erste Ungerade kommt an Stelle X=...
   ... 1:  P(X=1)=4/7
   ... 2:  P(X=2)=3/7 * 4/6  = 2/7
   ... 3:  P(X=3)=3/7 * 2/6 * 4/5 = 4/35
   ... 4:  P(X=4)=3/7 * 2/6 * 1/5 * 1 = 1/35
   also sind die Antworten zu den Teilaufgaben:
   a)  4/35
   b)  E(X) = 1 * 4/7 + 2 * 2/7 + 3 * 4/35 + 4 * 1/35 = 56/35 = 8/5 = 1,6
3. a) Erwartungswert der Auszahlung X:
       E(X) = 1*6/10 + 2*3/10 + 5*1/10 = 17/10 = 1,7
       1,70€ ist niedriger als der Einsatz von 2€, also ist das Spiel nicht fair.
   b) Auszahlung ist:
       1€, wenn Kugeln 1-1 gezogen, also mit W'keit 6/10*5/9=1/3
       2€, wenn Kugeln 1-2 oder 2-1 oder 2-2, also mit W'keit
             6/10 * 3/9 + 3/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 1/5 + 1/5 + 1/15 = 7/15
       5€, wenn Kugeln 5-1 oder 5-2 oder 1-5 oder 2-5, also mit W'keit
             1/10*6/9 + 1/10*3/9 + 6/10*1/9 + 3/10*1/9 = 1/15 + 1/30 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5
       Erwartungswert ist daher
       1*1/3 + 2*7/15 + 5*1/5 = 34/15. Das ist mehr als 2, also für den Betreiber ungeschickt.
4. Bernoullikette mit n=30 und p=0,41. (Hab grad keinen TR, drum Zahlen erst morgen)
   a) E(X)=30*0,41=12,3
       Vergleiche daher P(X=12) mit P(X=13). Der größere von beiden Werten ist
       P(X=12)=0,14646
   b) Das ist P(X=10)=0,105354048
   c) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)+P(X=10)=0,2544
5. Bernoullikette mit n=8 und p=0,9
   a) E(X) = 8*0,9 = 7,2
       Vergleiche daher P(X=7) mit P(X=8). Größer ist P(X=8)=0,43047
   b) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,9619
   c) Neue Bernoullikette mit p=0,75. Dann
       P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=5)+P(X=6)=0,6329
       oder einfacher berechnet das Gegenereignis von (7 oder 8)
       1 - P(X=8) - P(X=7)
      

Amplitude und Periode einer Sinusfunktion

wieder einmal in einer Geogebra-Animation dargestellt,

Ableitung der Sinusfunktion

Die Tangenten an den Punkten auf dem Schaubild der Sinusfunktion, ihre Steigung und das Schaubild der Ableitungsfunktion könnt ihr in dieser App verfolgen:
https://www.geogebra.org/m/NkweEkTA

Aufgaben von heute

tut mir leid, die Besprechung heute hat länger gedauert als geplant, drum bin ich erst jetzt dazugekommen.

S 118/3
verschiebe f(x) um a entlang y, also ist
g(x) = f(x) + a
es soll sein
g(2) = f(2) + a = 3² + 2 + a = 7
das ist erfüllt für a = -4, also ist
g(x) = f(x) - 4 = 3^x - 2

S127/3
exponential   f(x) = c*a^x
a) c = 2, a = 1,5      b)  c = 1,  a = Wurzel(3)    c) c = 0,5, a = 2

linear   f(x) = m x + b
a) b = 2,  m = 1       b) b = 1  m = 1                  c)  b = 0,  m = 1

quadratisch f(x) = a x² + c
a) c = 2,  a = 1        b) c = 1, a=1/2                  c)  c=2/3   a=1/3


S128/6
a) Rote Kurve; Exponentialfunktion, immer wenn x um 1 zunimmt, verdoppelt sich f(x), also 1; 2; 4; 8 usw.  Funktionsterm ist 2^x
Blaue Kurve: ist dann die Parabel mit Scheitel bei (0|1). Funktionsterm ist 1/2 ² + 1

b) die Parabel geht durch die Punkte (0|2) und (1|5,5)
 Die passende Exponentialfunktion f mit f(x)=c*a^x hat also
c=2  und a=2,75

Einfache Beziehungen mit Zeitableitung

Da könnte mir viel einfallen, aber vielleicht gibt das eine gute Übersicht (ich schreibe Strich statt Punkt, weil hier keine Formeln möglich sind)

Hier sind die Ableitungen in gewisser Weise die Definition der jeweiligen Größen

Q' = I

W' = p   (Leistung)

s' = v
v' = s" = a
p' = F   (Impuls abgeleitet gibt die Kraft   p = mv   -> p'=m v' = ma = F)

Und das Induktionsgesetz, das Moritz genannt hat:

Phi' = - Uind

das ist ein bisschen was anderes, weil da eine physikalische Wirkung drinsteckt.

Aufgaben vom 25.4.

Aufgabe 1
a)  f'(x) = x² - 9
b) Stellen mit f'(x)=0 bei x1 = -3 und x2 = 3.
    Die Punkte sind (-3|f(-3)), d.h. (-3|18),  und (3|f(3)), d.h. (3|-18)
c) Für x-> unendlich und -unendlich verhält sich f wie  1/3 x³
    also für x->+unendl geht f(x)-> +unendl
    und für x->-unendl geht f(x)-> -unendl
d) Für x nahe 0 verhält sich f wie -9x
    also wie eine lineare Funktion. Das Schaubild nähert sich an eine Ursprungsgerade y=-9x mit Steigung -9 an.

Aufgabe 2
a) Aus dem Schaubild kann man z.B. zwei Bedingungen ablesen
f(0) = 2 und f(4)=4
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen für c und a.
(I)   2 = c*a^0  und
(II)  4 = c*a^4
Aus (I) folgt sofort c=2. Das setzt man in (II) ein und formt um
4 = 2*a^4 | :2
2 = a^4
a = 2^(1/4)

b)  h(x) = g(x+1) = 0,5 * 3^(x+1)
     k(x) = 3*g(x) = 3*0,5*3^x = 1,5 * 3^x

c) Sie hat recht, denn mit der Potenzregel  a^(x+y) = a^x * a^y erhält man
    0,5 * 3^(x+1) = 0,5 * 3^x * 3^1 = 3 * 0,5 * 3^x,
    also sind h und k gleich.

Aufgabe 4 a) und b)
Das mit den Winkeln und den pi habe ich in der Schule liegen lassen. Es geht alles mit der Formel
x = pi / 180°  * alpha

Gerade im Raum

Hier etwas zum Rumspielen
https://www.geogebra.org/m/pXX4YeSG

Funktionsuntersuchung

am Freitag hatten wir einige Beispiele von Funktionen.
Ich habe eine Darstellung ins Netz gestellt: https://www.geogebra.org/m/fy4umznH
Ihr könnt auch auf die Funktiosgleichungen klicken und andere Terme schreiben.

Naturwissenschaften studieren in Stuttgart oder anderswo?

Hier schon mal Infoveranstaltungen und Arbeitstage zum ausprobieren
https://www.uni-stuttgart.de/studium/orientierung/try-science/

Übungsblatt von letzter Woche

1. Karlsruhe, Pyramide
1. A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/3/0), D(-3/-3/0), S(0/0/7)
3. |AS| = Wurzel(3²+3²+7²) = Wurzel(67)

2. Viereck ABCD, dessen Eckpunkte nicht in einer Ebene liegen.
2. Mitte von AB:  P(1/2/0,5)
    Mitte von BC; Q(1,5/0,5/0)
    Mitte von CD: R(2,5/0/2,5)
    Mitte von DA: S(2/1,5/3)
3. Die Vektoren PQ und SR müssen gleich sein
    PQ =  / 1,5 - 1 \  = / 0,5 \
              | 0,5 - 2  |     |-1,5  |
              \ 0  - 0,5/     \-0,5 /

   SR =   / 2,5 - 2 \  = / 0,5 \
              | 0 - 1,5  |     |-1,5  |
              \ 2,5 - 3 /     \-0,5 /

3. Hoch- und Tiefpunkte des Schaubilds von f

   f'(x) = x² - 1   hat Nullstellen bei x=-1 und x=1

   für x<-1 ist f'(x)>0, die Funktion steigt

   für  -1<x<1 ist f'(x)<0, die Funktion fällt

   für x>1 ist f'(x)>0, die Funktion steigt

   Daher ist bei x=-1 ein Maximum mit H(-1 | 8/3)
   und bei x=1 ein Minimum mit T(1 | 2/3).

   Beides sind lokale Extrema,

   weil für x -> -unendl. es viel negativer wird und

   für x -> +unendl. viel positiver wird
   Überprüfe die Werte am Rand
   f(2) = 8/3  und f(-2) = 4/3
   Damit wird der Tiefpunkt zum globalen Minimum,
   und der Hochpunkt wird gemeinsam mit dem rechten Rand zum globalen Maximum

4. Quader
   Grundfläche G = 8, Volumen V = G*h=32
   Flächenmittelpunkt ist der Mittelpunkt der Flächendiagonalen M(1|1|2)
   Raummittelpunkt ist Mittelpunkt der Raumdiagonalen R(0|0|2)

Übungsblatt vor den Herbstferien. Lösungen.

Aufgabe 1
a)  f'(x) = 2/3 x
b) f'(x) = 3/2 x² - 3/x²
c) f'(x) = 1/2 x + 4
d) f'(x) = 35 x^4
e) umformen: f(x) = x^(1/3) + x^(1/2)
    f'(x) = 1/3 x^(-2/3) + 1/2 x^(-1/2)
f) umformen: f(x) = 2 x^(-1/2)
    f'(x) = - x^(-3/2)

Aufgabe 2
1.  Probiert es aus. Die Lösung ergibt sich aus der Antwort zu Teilaufgabe 2
2. f'(x) = x³ - 4x
    f'(-3) = -27 + 12 = -15
    f'(-2) = - 8 + 8 = 0
    f'(-1) = -1 + 4 = 3
    f'(0) = 0
    f'(1) = 1 - 4 = -3
    f'(2) = 8 - 8 = 0
    f'(3) = 27 - 12 = 15
3. so wie bei 2. die x-Werte in den Ausdruck x³-4x einsetzen.

Aufgaben 3
a)  f'(x) = -1/x². Werte an den Stellen der Reihe nach
    -1/9; -1/4; -1; -4; -4; -1; -1/4; -1/9
b) Werte einsetzen, z.B. bei x=-3    y = -1/9*(x + 3) - 1/3 = -1/9 x - 2/3
c) das in b) genannte Beispiel ist eine Gerade durch (-3|-1/3) mit Steigung -1/9. Also auf 1 nach rechts kommt 1/9 nach unten. Oder auf 9 nach rechts 1 nach unten.
d) Die Tangenten berühren das Schaubild.
 

Java-Apps zur Ableitung

Mittlere und momentane Änderungsrate als Sekanten- und Tangentensteigung:
https://www.geogebra.org/m/xeymDdg5

Ableitung an verschiedenen Stellen setzt sich zusammen zur Ableitungsfunktion:
https://www.geogebra.org/m/RKcQxdzC

Bodensee

Das sind für mich die besten Verbindungen. Wir können mit BW-Ticket fahren. Der S-Bahnhof in Markelfingen ist direkt beim Campingplatz.

Wenn wir uns da am Donnerstag nachmittags anmelden, können wir erst mal einen ruhigen Nachmittag und Abend am See verbringen. In Radolfzell gibt es in Bahnhofnähe jede Menge Einkaufsmöglichkeiten (Al**, RE**, ...). Da können wir entweder mit den BW-Tickets hinfahren oder direkt laufen, denn der Campingplatz in Markelfingen ist grade einen guten Kilometer vom Bahnhof Radolfzell, der eine Supermarkt ist schon auf halber Strecke.

Von Markelfingen fahren viele S-Bahnen nach Konstanz, was wir am Freitag machen sollten. Die Hinfahrten immer um **.15 und **.45, die Rückfahrten immer um **.22 und **.52, also immer halbstündig. Die Fahrt nach Konstanz dauert 20 Minuten. Ich schau nach Tourismus in Konstanz, warne aber: Ich bin Fan von alter Geschichte, Kultur, Architektur, ... und entsprechend sind meine Vorschläge. Macht also eure Eigenen!


Campingplatz
Hier ist die Homepage http://www.campingplatz-markelfingen.de/ausstat.html
Da kann man sich ausrechnen, was es kostet: http://www.campingplatz-markelfingen.de/preise.html
Nett finde ich, dass sie uns 10% geben, weil wir mit Bus und Bahn anreisen.

Auf dem Plan http://www.campingplatz-markelfingen.de/Bilder/Lageplan.pdf finde ich keine Grillstelle. Wir sollten also allgemein picknicken, Salate und Rohzeugs zusammenschnippeln, Brot, Käse, Wurst, etc. Ist eh gesünder als die verbrannten Fette vom Grill, auch wenn die gut schmecken. Ein oder zwei Volleybälle wären gut, Tischtennissachen.

Übungsaufgaben für Wahrscheinlichkeiten

Mit Hilfsmitteln

Mir geht es dabei um die drei Befehle im GTR: nCr, binompdf, binomcdf.

Beispiele:

• binompdf(15,0.2,3) ist die Wahrscheinlichkeit bei 15 Versuchen genau 3 Treffer zu bekommen bei einer Einzeltrefferwahrscheinlichkeit von 0,2=20%=1/5.
  
  Aufgabe dazu:
  Ein Medikament hat Nebenwirkungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 3%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gibt es unter 50 (unabhängig ausgesuchten) Patienten genau zwei mit Nebenwirkungen?
  
  binnompdf(50,0.03,2)
   
• binomcdf(15,0.2,3) ist die Wahrscheinlichkeit bei 15 Versuchen bis zu 3 Treffer (also 0 oder 1 oder 2 oder 3) zu bekommen bei einer Einzeltrefferwahrscheinlichkeit von 0,2=20%=1/5.
  
  Aufgabe dazu:
  Das gleiche Medikament. Wie wahrscheinlich ist es, unter 50 behandelten Patienten weniger als 3 mit Nebenwirkungen zu finden?
  
  binomcdf(50,0.03,2)    weniger als 3 bedeutet 0 oder 1 oder 2.

• n C r braucht man eigentlich nicht, weil es nur im Zusammenhang mit den Wahrscheinlichkeiten auftritt, und man die direkt mit binompdf und binomcdf erhält. Trotzdem der Vollständigkeit halber:
  15 C 3 bezeichnet die Anzahl der Möglichkeiten 3 Treffer auf 15 versuche zu verteilen.
  
  Aufgabe dazu:
  Auf wie viele Weisen können sich drei Patienten mit Nebenwirkungen auf 50 verteilen?
  
  50 C 3.

Noch was zum Zusammenhang. Die Binomialformel kennt ihr aus Buch und Heft. In GTR-Sprache heißt sie
binompdf(n,p,k) = (n C k)*p^k*(1-p)^(n-k)

Vieles ist erklärt auf der Doppelseite 142/143. Das Beispiel 2 will ich morgen nicht fragen, sondern nur was aus Beispiel 1 von Seite 143. Ihr könnt die Aufgaben 1-5 aus dem Kapitel versuchen, oder die beiden "Bist-du-sicher" auf Seite 144.

Ach, die Lösungen für die Beispielchen oben kommen später. Stehen in rot drinnen.

Übungsblätter

Komme grad von der Abifeier und hier sind ein paar Aufgaben:
Aufgaben 1 und die Lösungen sind hier für den Teil  ohne Hilfsmittel und hier für den mit Hilfsmitteln

Aufgaben 2  und hier wieder die Lösungen für den Teil ohne Hilfsmittel und hier für den mit Hilfsmitteln

Übungsblatt im Juni 2015

Hier ist das Übungsblatt und hier gibt es das Blatt mit Lösungen.

Für die KA in 2 knapp Wochen

Hier ist ein Übungsblatt zu unserem Kapitel. Ich habe bisher noch nichts mit x gegen unendlich drin. Das kommt noch.

Sinus und Kosinus

Hier ist eine Zusammenfassung für das, was wir heute in der zweiten unserer Stunden gemacht haben. Schreibt sie bitte in eure Hefte/Ordner. Macht danach die Aufgaben.

Ableitung der Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)

Die Ableitungsfunktionen sind:
f'(x) = cos(x) ist Ableitung von f(x) = sin(x),
g'(x) = - sin(x) ist Ableitung von g(x) = cos(x).

Beispiele und Übungsaufgaben:
Ihr kennt von den Potenz- und ganzrationalen Funktionen:
Zu f(x) = 3x²  ist die Ableitung f'(x) = 3*2x = 6 x.
Jeder Vorfaktor vor einer Funktion taucht also in ihrer Ableitung wieder auf.
Gleiches gilt für sin und cos.
Zu f(x) = 3 sin(x)  ist die Ableitung f'(x) = 3 cos(x)
Zu f(x) = - sin(x)  ist die Ableitung f'(x) = - cos(x)

Gebt die Ableitungsfunktionen an von

1. f(x) = 5 sin(x) 
2. f(x) = - cos(x)
3. f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x)
4. f(x) = 0,5 sin(x) +  3 x²
5. f(x) = 2 cos(x) + 6

Morgen schreibe ich noch etwas mehr, auch ein paar Aufgaben aus dem Buch

Sinuskurve verschieben

Mit der Geogebra-Datei sinus_verschieben.ggb kannst du sehen, wie die Parameter a, b, c und d das Schaubild der Sinusfunktion verändern.

Sinus und Kosinus

Die Geogebra-Datei zeigt, wie man das Schaubild der Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x) aus dem Einheitskreis erhalten kann.

• x entspricht der Bogenlänge auf dem Umfang vom Anfangspunkt rechts zu einem Punkt auf dem Kreis.
• sin(x)  ist die Gegenkathete des Winkels zum Punkt, sichtbar als y-Koordinate des Punkts.
• cos(x) ist die Ankathete, sichtbar als x-Koordinate.