Bogenmaß und Winkel

Die Geogebra-Datei zeigt den Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Winkel am Einheitskreis (Kreis mit Radius r=1)

Jedem Winkel entspricht genau eine Bogenlänge auf dem Kreis und umgekehrt.

Ableitung der SInusfunktion

Öffne die Geogebra-Datei (anklicken, beim Pfeil obenherunterladen)

Die rote Kurve ist das Schaubild der Funktion f(x) = sin(x), wobei x im Bogenmaß dargestellt ist, also 180° entspricht pi, 360° entspricht 2 pi, und allgemein dem Winkel alpha entspricht alpha*pi / 180°.

Du kannst einen Punkt auf dem Schaubild von f verschieben.

Links ist ein Einheitskreis (Kreis mit Radius r=1). Das Bogenmaß ist als roter Bogen zu sehen, es zeigt die x-Koordinate des Punkts am Umfang entlang aufgewickelt.

Im Punkt ist die Tangente gezeichnet. Sie läuft mit, wenn du den Punkt verschiebst. Ihre Steigung entspricht der Ableitung der Funktion f an der Stelle des Punktes.

Beim Verschieben wird am x-Wert des Punktes die Tangentensteigung als y-Wert abgetragen. So erhält man das Schaubild der Ableitung von f.

Welche Ableitungsunktion f'(x) ergibt sich?

Arbeitsblatt, Aufgabe 2

Aufgabe 2

Zu Aufgabe 2.1

Zu Aufgabe 2.2

1. Die Punkte im Koordinatensystem sind in Abbildung 1
2. Gerade AC und Gerade AB. Schneiden sich nicht. Hier die Rechnung handschriftlich eingescannt.
3. Punkte in der Mitte zwischen zwei Punkten haben genau die Durchschnittswerte als Koordinaten
   
   zwischen A und B
   P(1|2|0,5)
   zwischen B und C:
   Q(1,5|0,5|0)
   zwischen C und D:
   R(2,5|0|2,5)
   zwischen D und A:
   S(2|1,5|3)
4. Bei einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang und parallel. Sie bezeichnen also die gleichen Vektoren.
   Das muss man hier überprüfen, und man findet
                0,5
   PQ =    -1,5              
                -0,5
   
                 0,5
   SR =    -1,5
               -0,5

Rechnen mit Vektoren - eine Einführung

1. Lade die Datei vektoraddition.ggb herunter und öffne sie.
   Du kannst die Spitzen der blauen Pfeile mit der Maus ziehen.
   
   Geometrische Veranschaulichung 1
   u + v bedeutet, dass der Vektor v an u angehängt wird. Der Vektor w reicht dann vom Fuß  von u zur Spitze des angehängten v.
   
   Geometrische Veranschaulichung 2
   Bilde ein Parallelogramm aus u und v. Der Vektor  w ist diejenige Diagonale des Parallelogramms, die an den Fußpunkten von und v beginnt.
   
   Beide Veranschaulichungen zeigen, dass u+v = v+u. Die Vektoraddition ist kommutativ.
   
   Aufgabe:
   Schreibe fünf Beispiele von Vektoradditionen auf und formuliere eine Antwort auf die Frage:
   Wie kann man die Koordinaten der Summe w aus denen von u und v erhalten?
   
2. Lade die Datei skalarmultiplikation.ggb herunter und öffne sie.
   Du kannst die Spitze des blauen Pfeils mit der Maus ziehen. Außerdem kannst du die Zahl c mit einem Schieberegler verändern.
   
   Geometrische Veranschaulichung
   w= c u bedeutet, dass der Vektor u um den Faktor c gestreckt oder verkürzt wird. Der Vektor w ist parallel zum Ausgangsvektor u. Wenn c negativ ist, zeigt er in die entgegengesetzte Richtung.
   
   Aufgabe:
   Schreibe fünf Beispiele von Skalarmultiplikation auf und formuliere eine Antwort auf die Frage: Wie kann man die Koordinaten von w aus denen von u und der Zahl c erhalten?
   
3. Eine Kombination aus Skalarmultiplikation und Addition nennt man Linearkombination, dargestellt in der Datei linearkombination.ggb. Auch hier kannst du die blauen Pfeile ziehen und die Zahlen am Schieberegler einstellen.
   
   Aufgaben:
   Schreibe fünf Beispiele von Linearkombinationen und beschreibe: Wie kann man die  Koordinaten einer Linearkombination aus den Vektoren u, v und den Zahlen c, d erhalten?
   
   Bearbeite auf Seite 84 im Buch die Aufgaben 1 und 5, sowie auf Seite 86 Aufgabe 17. 

Mathe-Merksachen Januar 2015

Nach der Klassenarbeit etwas erweitert die
Mathe-Merksachen als PDF.

Vor allem mit einer Schrittweisen Anleitung, wie man bei einer Funktion im Schaubild die Hoch-, Tief- und Sattelpunkte findet.

Übungsaufgaben zur Klassenarbeit

1. Schreibe f(x) = 1/2 x^5 + x^(-1/2) - 3*x^(-3)  und leite mit den Potenzregeln ab.
2. Haben wir heute ausführlich besprochen.
   f'(x)=0 setzen. Dann auf Vorzeichenwechsel bei den Nullstellen untersuchen und so Hoch und Tiefpunkte identifizieren. Die y-Koordinaten der Punkte erhält man, indem man ihre x-Koordinaten in die Funktion f einsetzt und dann ausrechnet.
   Bei der Einschränkung des Definitionsbereiches muss man auf die Ränder achten, ob dort ein Max/Minimum liegt.
3. Verhalten gegen +- unendlich: Entscheidend ist der Teil mit 1/4 x^4, also positiver Vorfaktor und gerade Hochzahl.
   Ableitung ist f'(x)=x³-3x²   ausklammern um die Nullstellen zu finden   x² (x-3)=0
   Bei x=0 ist kein Vorzeichenwechsel, also ist dort ein Sattelpunkt.
   Bei x=3 ist ein Vorzeichenwechsel von - nach +, also ist dort ein Tiefpunkt.
   Es gibt keinen Hochpunkt
4. Haben wir heute ausführlich besprochen.
5. Voumen V=G*h
   Grundseite G ist ein Quadrat mit Kantenlänge  2*Wurzel(2), also hat sie die Fläche 8. Das Volumen ist damit 8*4=32
   Raumdiagonale: war heute an der Tafel
   Seitendiagonale: Zwei Eckpunkte an einer Seite, z.B. (2|0|0) und (0|2|4) haben den Abstand Wurzel(2²+2²+4²)=Wurzel(24)
6. a) |AX|=Wurzel(x²+0²)=x    (genauer wäre |x|, aber negative x sind hier nicht sinnvoll)
   |BX|=Wurzel((5-x)²+5²)  und |CX| ist genau so groß
   Es ist also s(x) = x + 2*Wurze((5-x)²+25)
   b) Im GTR zeichnen (window mit x von 0 bis 5, und y von 0 bis 10 ist sinnvoll), dann mit 2nd calc minimum das Minimum suchen
   c) Der Steigungswinkel der Geraden durch X und B ist gegeben durch
   tan(alpha) = 5/(5-x)
   (kann man dann mit 2nd tan, d.h. "Tangens rückwärts" ausrechnen. Es sollte alpha=60° rauskommen, damit ist der gefragte winkel gleich 120°.)

Mathe zum Merken. Worüber man so stolpert, Dezember 2014