Übungen zu Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

1. Ableitung: f(x) = 3*x^-1 - cos(x)  -->  f'(x) = - 3*x^-2 - (-sin(x)) = - 3/x² + sin(x)
2. 7 Kugeln ziehen
   W'keiten, dass die erste Ungerade kommt an Stelle X=...
   ... 1:  P(X=1)=4/7
   ... 2:  P(X=2)=3/7 * 4/6  = 2/7
   ... 3:  P(X=3)=3/7 * 2/6 * 4/5 = 4/35
   ... 4:  P(X=4)=3/7 * 2/6 * 1/5 * 1 = 1/35
   also sind die Antworten zu den Teilaufgaben:
   a)  4/35
   b)  E(X) = 1 * 4/7 + 2 * 2/7 + 3 * 4/35 + 4 * 1/35 = 56/35 = 8/5 = 1,6
3. a) Erwartungswert der Auszahlung X:
       E(X) = 1*6/10 + 2*3/10 + 5*1/10 = 17/10 = 1,7
       1,70€ ist niedriger als der Einsatz von 2€, also ist das Spiel nicht fair.
   b) Auszahlung ist:
       1€, wenn Kugeln 1-1 gezogen, also mit W'keit 6/10*5/9=1/3
       2€, wenn Kugeln 1-2 oder 2-1 oder 2-2, also mit W'keit
             6/10 * 3/9 + 3/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 1/5 + 1/5 + 1/15 = 7/15
       5€, wenn Kugeln 5-1 oder 5-2 oder 1-5 oder 2-5, also mit W'keit
             1/10*6/9 + 1/10*3/9 + 6/10*1/9 + 3/10*1/9 = 1/15 + 1/30 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5
       Erwartungswert ist daher
       1*1/3 + 2*7/15 + 5*1/5 = 34/15. Das ist mehr als 2, also für den Betreiber ungeschickt.
4. Bernoullikette mit n=30 und p=0,41. (Hab grad keinen TR, drum Zahlen erst morgen)
   a) E(X)=30*0,41=12,3
       Vergleiche daher P(X=12) mit P(X=13). Der größere von beiden Werten ist
       P(X=12)=0,14646
   b) Das ist P(X=10)=0,105354048
   c) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)+P(X=10)=0,2544
5. Bernoullikette mit n=8 und p=0,9
   a) E(X) = 8*0,9 = 7,2
       Vergleiche daher P(X=7) mit P(X=8). Größer ist P(X=8)=0,43047
   b) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,9619
   c) Neue Bernoullikette mit p=0,75. Dann
       P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=5)+P(X=6)=0,6329
       oder einfacher berechnet das Gegenereignis von (7 oder 8)
       1 - P(X=8) - P(X=7)