Übungen zu Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert

1. Ableitung: f(x) = 3*x^-1 - cos(x)  -->  f'(x) = - 3*x^-2 - (-sin(x)) = - 3/x² + sin(x)
2. 7 Kugeln ziehen
   W'keiten, dass die erste Ungerade kommt an Stelle X=...
   ... 1:  P(X=1)=4/7
   ... 2:  P(X=2)=3/7 * 4/6  = 2/7
   ... 3:  P(X=3)=3/7 * 2/6 * 4/5 = 4/35
   ... 4:  P(X=4)=3/7 * 2/6 * 1/5 * 1 = 1/35
   also sind die Antworten zu den Teilaufgaben:
   a)  4/35
   b)  E(X) = 1 * 4/7 + 2 * 2/7 + 3 * 4/35 + 4 * 1/35 = 56/35 = 8/5 = 1,6
3. a) Erwartungswert der Auszahlung X:
       E(X) = 1*6/10 + 2*3/10 + 5*1/10 = 17/10 = 1,7
       1,70€ ist niedriger als der Einsatz von 2€, also ist das Spiel nicht fair.
   b) Auszahlung ist:
       1€, wenn Kugeln 1-1 gezogen, also mit W'keit 6/10*5/9=1/3
       2€, wenn Kugeln 1-2 oder 2-1 oder 2-2, also mit W'keit
             6/10 * 3/9 + 3/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 1/5 + 1/5 + 1/15 = 7/15
       5€, wenn Kugeln 5-1 oder 5-2 oder 1-5 oder 2-5, also mit W'keit
             1/10*6/9 + 1/10*3/9 + 6/10*1/9 + 3/10*1/9 = 1/15 + 1/30 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5
       Erwartungswert ist daher
       1*1/3 + 2*7/15 + 5*1/5 = 34/15. Das ist mehr als 2, also für den Betreiber ungeschickt.
4. Bernoullikette mit n=30 und p=0,41. (Hab grad keinen TR, drum Zahlen erst morgen)
   a) E(X)=30*0,41=12,3
       Vergleiche daher P(X=12) mit P(X=13). Der größere von beiden Werten ist
       P(X=12)=0,14646
   b) Das ist P(X=10)=0,105354048
   c) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)+P(X=10)=0,2544
5. Bernoullikette mit n=8 und p=0,9
   a) E(X) = 8*0,9 = 7,2
       Vergleiche daher P(X=7) mit P(X=8). Größer ist P(X=8)=0,43047
   b) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,9619
   c) Neue Bernoullikette mit p=0,75. Dann
       P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=5)+P(X=6)=0,6329
       oder einfacher berechnet das Gegenereignis von (7 oder 8)
       1 - P(X=8) - P(X=7)
      

Amplitude und Periode einer Sinusfunktion

wieder einmal in einer Geogebra-Animation dargestellt,

Ableitung der Sinusfunktion

Die Tangenten an den Punkten auf dem Schaubild der Sinusfunktion, ihre Steigung und das Schaubild der Ableitungsfunktion könnt ihr in dieser App verfolgen:
https://www.geogebra.org/m/NkweEkTA

Aufgaben von heute

tut mir leid, die Besprechung heute hat länger gedauert als geplant, drum bin ich erst jetzt dazugekommen.

S 118/3
verschiebe f(x) um a entlang y, also ist
g(x) = f(x) + a
es soll sein
g(2) = f(2) + a = 3² + 2 + a = 7
das ist erfüllt für a = -4, also ist
g(x) = f(x) - 4 = 3^x - 2

S127/3
exponential   f(x) = c*a^x
a) c = 2, a = 1,5      b)  c = 1,  a = Wurzel(3)    c) c = 0,5, a = 2

linear   f(x) = m x + b
a) b = 2,  m = 1       b) b = 1  m = 1                  c)  b = 0,  m = 1

quadratisch f(x) = a x² + c
a) c = 2,  a = 1        b) c = 1, a=1/2                  c)  c=2/3   a=1/3


S128/6
a) Rote Kurve; Exponentialfunktion, immer wenn x um 1 zunimmt, verdoppelt sich f(x), also 1; 2; 4; 8 usw.  Funktionsterm ist 2^x
Blaue Kurve: ist dann die Parabel mit Scheitel bei (0|1). Funktionsterm ist 1/2 ² + 1

b) die Parabel geht durch die Punkte (0|2) und (1|5,5)
 Die passende Exponentialfunktion f mit f(x)=c*a^x hat also
c=2  und a=2,75

Einfache Beziehungen mit Zeitableitung

Da könnte mir viel einfallen, aber vielleicht gibt das eine gute Übersicht (ich schreibe Strich statt Punkt, weil hier keine Formeln möglich sind)

Hier sind die Ableitungen in gewisser Weise die Definition der jeweiligen Größen

Q' = I

W' = p   (Leistung)

s' = v
v' = s" = a
p' = F   (Impuls abgeleitet gibt die Kraft   p = mv   -> p'=m v' = ma = F)

Und das Induktionsgesetz, das Moritz genannt hat:

Phi' = - Uind

das ist ein bisschen was anderes, weil da eine physikalische Wirkung drinsteckt.

Aufgaben vom 25.4.

Aufgabe 1
a)  f'(x) = x² - 9
b) Stellen mit f'(x)=0 bei x1 = -3 und x2 = 3.
    Die Punkte sind (-3|f(-3)), d.h. (-3|18),  und (3|f(3)), d.h. (3|-18)
c) Für x-> unendlich und -unendlich verhält sich f wie  1/3 x³
    also für x->+unendl geht f(x)-> +unendl
    und für x->-unendl geht f(x)-> -unendl
d) Für x nahe 0 verhält sich f wie -9x
    also wie eine lineare Funktion. Das Schaubild nähert sich an eine Ursprungsgerade y=-9x mit Steigung -9 an.

Aufgabe 2
a) Aus dem Schaubild kann man z.B. zwei Bedingungen ablesen
f(0) = 2 und f(4)=4
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen für c und a.
(I)   2 = c*a^0  und
(II)  4 = c*a^4
Aus (I) folgt sofort c=2. Das setzt man in (II) ein und formt um
4 = 2*a^4 | :2
2 = a^4
a = 2^(1/4)

b)  h(x) = g(x+1) = 0,5 * 3^(x+1)
     k(x) = 3*g(x) = 3*0,5*3^x = 1,5 * 3^x

c) Sie hat recht, denn mit der Potenzregel  a^(x+y) = a^x * a^y erhält man
    0,5 * 3^(x+1) = 0,5 * 3^x * 3^1 = 3 * 0,5 * 3^x,
    also sind h und k gleich.

Aufgabe 4 a) und b)
Das mit den Winkeln und den pi habe ich in der Schule liegen lassen. Es geht alles mit der Formel
x = pi / 180°  * alpha

Gerade im Raum

Hier etwas zum Rumspielen
https://www.geogebra.org/m/pXX4YeSG