Sinus und Kosinus

Hier ist eine Zusammenfassung für das, was wir heute in der zweiten unserer Stunden gemacht haben. Schreibt sie bitte in eure Hefte/Ordner. Macht danach die Aufgaben.

Ableitung der Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x)

Die Ableitungsfunktionen sind:
f'(x) = cos(x) ist Ableitung von f(x) = sin(x),
g'(x) = - sin(x) ist Ableitung von g(x) = cos(x).

Beispiele und Übungsaufgaben:
Ihr kennt von den Potenz- und ganzrationalen Funktionen:
Zu f(x) = 3x²  ist die Ableitung f'(x) = 3*2x = 6 x.
Jeder Vorfaktor vor einer Funktion taucht also in ihrer Ableitung wieder auf.
Gleiches gilt für sin und cos.
Zu f(x) = 3 sin(x)  ist die Ableitung f'(x) = 3 cos(x)
Zu f(x) = - sin(x)  ist die Ableitung f'(x) = - cos(x)

Gebt die Ableitungsfunktionen an von

1. f(x) = 5 sin(x) 
2. f(x) = - cos(x)
3. f(x) = 3 sin(x) + 2 cos(x)
4. f(x) = 0,5 sin(x) +  3 x²
5. f(x) = 2 cos(x) + 6

Morgen schreibe ich noch etwas mehr, auch ein paar Aufgaben aus dem Buch

Sinuskurve verschieben

Mit der Geogebra-Datei sinus_verschieben.ggb kannst du sehen, wie die Parameter a, b, c und d das Schaubild der Sinusfunktion verändern.

Sinus und Kosinus

Die Geogebra-Datei zeigt, wie man das Schaubild der Funktionen f(x)=sin(x) und g(x)=cos(x) aus dem Einheitskreis erhalten kann.

• x entspricht der Bogenlänge auf dem Umfang vom Anfangspunkt rechts zu einem Punkt auf dem Kreis.
• sin(x)  ist die Gegenkathete des Winkels zum Punkt, sichtbar als y-Koordinate des Punkts.
• cos(x) ist die Ankathete, sichtbar als x-Koordinate.

Bogenmaß und Winkel

Die Geogebra-Datei zeigt den Zusammenhang zwischen Bogenmaß und Winkel am Einheitskreis (Kreis mit Radius r=1)

Jedem Winkel entspricht genau eine Bogenlänge auf dem Kreis und umgekehrt.

Ableitung der SInusfunktion

Öffne die Geogebra-Datei (anklicken, beim Pfeil obenherunterladen)

Die rote Kurve ist das Schaubild der Funktion f(x) = sin(x), wobei x im Bogenmaß dargestellt ist, also 180° entspricht pi, 360° entspricht 2 pi, und allgemein dem Winkel alpha entspricht alpha*pi / 180°.

Du kannst einen Punkt auf dem Schaubild von f verschieben.

Links ist ein Einheitskreis (Kreis mit Radius r=1). Das Bogenmaß ist als roter Bogen zu sehen, es zeigt die x-Koordinate des Punkts am Umfang entlang aufgewickelt.

Im Punkt ist die Tangente gezeichnet. Sie läuft mit, wenn du den Punkt verschiebst. Ihre Steigung entspricht der Ableitung der Funktion f an der Stelle des Punktes.

Beim Verschieben wird am x-Wert des Punktes die Tangentensteigung als y-Wert abgetragen. So erhält man das Schaubild der Ableitung von f.

Welche Ableitungsunktion f'(x) ergibt sich?