- Ableitung: f(x) = 3*x^-1 - cos(x) --> f'(x) = - 3*x^-2 - (-sin(x)) = - 3/x² + sin(x)
- 7 Kugeln ziehen
W'keiten, dass die erste Ungerade kommt an Stelle X=...
... 1: P(X=1)=4/7
... 2: P(X=2)=3/7 * 4/6 = 2/7
... 3: P(X=3)=3/7 * 2/6 * 4/5 = 4/35
... 4: P(X=4)=3/7 * 2/6 * 1/5 * 1 = 1/35
also sind die Antworten zu den Teilaufgaben:
a) 4/35
b) E(X) = 1 * 4/7 + 2 * 2/7 + 3 * 4/35 + 4 * 1/35 = 56/35 = 8/5 = 1,6 - a) Erwartungswert der Auszahlung X:
E(X) = 1*6/10 + 2*3/10 + 5*1/10 = 17/10 = 1,7
1,70€ ist niedriger als der Einsatz von 2€, also ist das Spiel nicht fair.
b) Auszahlung ist:
1€, wenn Kugeln 1-1 gezogen, also mit W'keit 6/10*5/9=1/3
2€, wenn Kugeln 1-2 oder 2-1 oder 2-2, also mit W'keit
6/10 * 3/9 + 3/10 * 6/9 + 3/10 * 2/9 = 1/5 + 1/5 + 1/15 = 7/15
5€, wenn Kugeln 5-1 oder 5-2 oder 1-5 oder 2-5, also mit W'keit
1/10*6/9 + 1/10*3/9 + 6/10*1/9 + 3/10*1/9 = 1/15 + 1/30 + 1/15 + 1/30 = 6/30 = 1/5
Erwartungswert ist daher
1*1/3 + 2*7/15 + 5*1/5 = 34/15. Das ist mehr als 2, also für den Betreiber ungeschickt. - Bernoullikette mit n=30 und p=0,41. (Hab grad keinen TR, drum Zahlen erst morgen)
a) E(X)=30*0,41=12,3
Vergleiche daher P(X=12) mit P(X=13). Der größere von beiden Werten ist
P(X=12)=0,14646
b) Das ist P(X=10)=0,105354048
c) P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+...+P(X=9)+P(X=10)=0,2544 - Bernoullikette mit n=8 und p=0,9
a) E(X) = 8*0,9 = 7,2
Vergleiche daher P(X=7) mit P(X=8). Größer ist P(X=8)=0,43047
b) P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,9619
c) Neue Bernoullikette mit p=0,75. Dann
P(X=0)+P(X=1)+...+P(X=5)+P(X=6)=0,6329
oder einfacher berechnet das Gegenereignis von (7 oder 8)
1 - P(X=8) - P(X=7)
Freitag, 7. Juli 2017
Übungen zu Wahrscheinlichkeit und Erwartungswert
Sonntag, 14. Mai 2017
Freitag, 5. Mai 2017
Ableitung der Sinusfunktion
Die Tangenten an den Punkten auf dem Schaubild der Sinusfunktion, ihre Steigung und das Schaubild der Ableitungsfunktion könnt ihr in dieser App verfolgen:
https://www.geogebra.org/m/NkweEkTA
https://www.geogebra.org/m/NkweEkTA
Donnerstag, 27. April 2017
Aufgaben von heute
tut mir leid, die Besprechung heute hat länger gedauert als geplant, drum bin ich erst jetzt dazugekommen.
S 118/3
verschiebe f(x) um a entlang y, also ist
g(x) = f(x) + a
es soll sein
g(2) = f(2) + a = 3² + 2 + a = 7
das ist erfüllt für a = -4, also ist
g(x) = f(x) - 4 = 3^x - 2
S127/3
exponential f(x) = c*a^x
a) c = 2, a = 1,5 b) c = 1, a = Wurzel(3) c) c = 0,5, a = 2
linear f(x) = m x + b
a) b = 2, m = 1 b) b = 1 m = 1 c) b = 0, m = 1
quadratisch f(x) = a x² + c
a) c = 2, a = 1 b) c = 1, a=1/2 c) c=2/3 a=1/3
S128/6
a) Rote Kurve; Exponentialfunktion, immer wenn x um 1 zunimmt, verdoppelt sich f(x), also 1; 2; 4; 8 usw. Funktionsterm ist 2^x
Blaue Kurve: ist dann die Parabel mit Scheitel bei (0|1). Funktionsterm ist 1/2 ² + 1
b) die Parabel geht durch die Punkte (0|2) und (1|5,5)
Die passende Exponentialfunktion f mit f(x)=c*a^x hat also
c=2 und a=2,75
S 118/3
verschiebe f(x) um a entlang y, also ist
g(x) = f(x) + a
es soll sein
g(2) = f(2) + a = 3² + 2 + a = 7
das ist erfüllt für a = -4, also ist
g(x) = f(x) - 4 = 3^x - 2
S127/3
exponential f(x) = c*a^x
a) c = 2, a = 1,5 b) c = 1, a = Wurzel(3) c) c = 0,5, a = 2
linear f(x) = m x + b
a) b = 2, m = 1 b) b = 1 m = 1 c) b = 0, m = 1
quadratisch f(x) = a x² + c
a) c = 2, a = 1 b) c = 1, a=1/2 c) c=2/3 a=1/3
S128/6
a) Rote Kurve; Exponentialfunktion, immer wenn x um 1 zunimmt, verdoppelt sich f(x), also 1; 2; 4; 8 usw. Funktionsterm ist 2^x
Blaue Kurve: ist dann die Parabel mit Scheitel bei (0|1). Funktionsterm ist 1/2 ² + 1
b) die Parabel geht durch die Punkte (0|2) und (1|5,5)
Die passende Exponentialfunktion f mit f(x)=c*a^x hat also
c=2 und a=2,75
Dienstag, 25. April 2017
Einfache Beziehungen mit Zeitableitung
Da könnte mir viel einfallen, aber vielleicht gibt das eine gute Übersicht (ich schreibe Strich statt Punkt, weil hier keine Formeln möglich sind)
Hier sind die Ableitungen in gewisser Weise die Definition der jeweiligen Größen
Q' = I
W' = p (Leistung)
s' = v
v' = s" = a
p' = F (Impuls abgeleitet gibt die Kraft p = mv -> p'=m v' = ma = F)
Und das Induktionsgesetz, das Moritz genannt hat:
Phi' = - Uind
das ist ein bisschen was anderes, weil da eine physikalische Wirkung drinsteckt.
Hier sind die Ableitungen in gewisser Weise die Definition der jeweiligen Größen
Q' = I
W' = p (Leistung)
s' = v
v' = s" = a
p' = F (Impuls abgeleitet gibt die Kraft p = mv -> p'=m v' = ma = F)
Und das Induktionsgesetz, das Moritz genannt hat:
Phi' = - Uind
das ist ein bisschen was anderes, weil da eine physikalische Wirkung drinsteckt.
Aufgaben vom 25.4.
Aufgabe 1
a) f'(x) = x² - 9
b) Stellen mit f'(x)=0 bei x1 = -3 und x2 = 3.
Die Punkte sind (-3|f(-3)), d.h. (-3|18), und (3|f(3)), d.h. (3|-18)
c) Für x-> unendlich und -unendlich verhält sich f wie 1/3 x³
also für x->+unendl geht f(x)-> +unendl
und für x->-unendl geht f(x)-> -unendl
d) Für x nahe 0 verhält sich f wie -9x
also wie eine lineare Funktion. Das Schaubild nähert sich an eine Ursprungsgerade y=-9x mit Steigung -9 an.
Aufgabe 2
a) Aus dem Schaubild kann man z.B. zwei Bedingungen ablesen
f(0) = 2 und f(4)=4
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen für c und a.
(I) 2 = c*a^0 und
(II) 4 = c*a^4
Aus (I) folgt sofort c=2. Das setzt man in (II) ein und formt um
4 = 2*a^4 | :2
2 = a^4
a = 2^(1/4)
b) h(x) = g(x+1) = 0,5 * 3^(x+1)
k(x) = 3*g(x) = 3*0,5*3^x = 1,5 * 3^x
c) Sie hat recht, denn mit der Potenzregel a^(x+y) = a^x * a^y erhält man
0,5 * 3^(x+1) = 0,5 * 3^x * 3^1 = 3 * 0,5 * 3^x,
also sind h und k gleich.
Aufgabe 4 a) und b)
Das mit den Winkeln und den pi habe ich in der Schule liegen lassen. Es geht alles mit der Formel
x = pi / 180° * alpha
a) f'(x) = x² - 9
b) Stellen mit f'(x)=0 bei x1 = -3 und x2 = 3.
Die Punkte sind (-3|f(-3)), d.h. (-3|18), und (3|f(3)), d.h. (3|-18)
c) Für x-> unendlich und -unendlich verhält sich f wie 1/3 x³
also für x->+unendl geht f(x)-> +unendl
und für x->-unendl geht f(x)-> -unendl
d) Für x nahe 0 verhält sich f wie -9x
also wie eine lineare Funktion. Das Schaubild nähert sich an eine Ursprungsgerade y=-9x mit Steigung -9 an.
Aufgabe 2
a) Aus dem Schaubild kann man z.B. zwei Bedingungen ablesen
f(0) = 2 und f(4)=4
Daraus ergeben sich zwei Gleichungen für c und a.
(I) 2 = c*a^0 und
(II) 4 = c*a^4
Aus (I) folgt sofort c=2. Das setzt man in (II) ein und formt um
4 = 2*a^4 | :2
2 = a^4
a = 2^(1/4)
b) h(x) = g(x+1) = 0,5 * 3^(x+1)
k(x) = 3*g(x) = 3*0,5*3^x = 1,5 * 3^x
c) Sie hat recht, denn mit der Potenzregel a^(x+y) = a^x * a^y erhält man
0,5 * 3^(x+1) = 0,5 * 3^x * 3^1 = 3 * 0,5 * 3^x,
also sind h und k gleich.
Aufgabe 4 a) und b)
Das mit den Winkeln und den pi habe ich in der Schule liegen lassen. Es geht alles mit der Formel
x = pi / 180° * alpha
Sonntag, 29. Januar 2017
Funktionsuntersuchung
am Freitag hatten wir einige Beispiele von Funktionen.
Ich habe eine Darstellung ins Netz gestellt: https://www.geogebra.org/m/fy4umznH
Ihr könnt auch auf die Funktiosgleichungen klicken und andere Terme schreiben.
Ich habe eine Darstellung ins Netz gestellt: https://www.geogebra.org/m/fy4umznH
Ihr könnt auch auf die Funktiosgleichungen klicken und andere Terme schreiben.
Mittwoch, 25. Januar 2017
Naturwissenschaften studieren in Stuttgart oder anderswo?
Hier schon mal Infoveranstaltungen und Arbeitstage zum ausprobieren
https://www.uni-stuttgart.de/studium/orientierung/try-science/
https://www.uni-stuttgart.de/studium/orientierung/try-science/
Montag, 23. Januar 2017
Übungsblatt von letzter Woche
1. Karlsruhe, Pyramide
1. A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/3/0), D(-3/-3/0), S(0/0/7)
3. |AS| = Wurzel(3²+3²+7²) = Wurzel(67)
2. Viereck ABCD, dessen Eckpunkte nicht in einer Ebene liegen.
2. Mitte von AB: P(1/2/0,5)
Mitte von BC; Q(1,5/0,5/0)
Mitte von CD: R(2,5/0/2,5)
Mitte von DA: S(2/1,5/3)
3. Die Vektoren PQ und SR müssen gleich sein
PQ = / 1,5 - 1 \ = / 0,5 \
| 0,5 - 2 | |-1,5 |
\ 0 - 0,5/ \-0,5 /
SR = / 2,5 - 2 \ = / 0,5 \
| 0 - 1,5 | |-1,5 |
\ 2,5 - 3 / \-0,5 /
1. A(3/-3/0), B(3/3/0), C(-3/3/0), D(-3/-3/0), S(0/0/7)
3. |AS| = Wurzel(3²+3²+7²) = Wurzel(67)
2. Viereck ABCD, dessen Eckpunkte nicht in einer Ebene liegen.
2. Mitte von AB: P(1/2/0,5)
Mitte von BC; Q(1,5/0,5/0)
Mitte von CD: R(2,5/0/2,5)
Mitte von DA: S(2/1,5/3)
3. Die Vektoren PQ und SR müssen gleich sein
PQ = / 1,5 - 1 \ = / 0,5 \
| 0,5 - 2 | |-1,5 |
\ 0 - 0,5/ \-0,5 /
SR = / 2,5 - 2 \ = / 0,5 \
| 0 - 1,5 | |-1,5 |
\ 2,5 - 3 / \-0,5 /
3. Hoch- und Tiefpunkte des Schaubilds von f
f'(x) = x² - 1 hat Nullstellen bei x=-1 und x=1
für x<-1 ist f'(x)>0, die Funktion steigt
für -1<x<1 ist f'(x)<0, die Funktion fällt
für x>1 ist f'(x)>0, die Funktion steigt
Daher ist bei x=-1 ein Maximum mit H(-1 | 8/3)
und bei x=1 ein Minimum mit T(1 | 2/3).
und bei x=1 ein Minimum mit T(1 | 2/3).
Beides sind lokale Extrema,
weil für x -> -unendl. es viel negativer wird und
für x -> +unendl. viel positiver wird
Überprüfe die Werte am Rand
f(2) = 8/3 und f(-2) = 4/3
Damit wird der Tiefpunkt zum globalen Minimum,
und der Hochpunkt wird gemeinsam mit dem rechten Rand zum globalen Maximum
4. Quader
Grundfläche G = 8, Volumen V = G*h=32
Flächenmittelpunkt ist der Mittelpunkt der Flächendiagonalen M(1|1|2)
Raummittelpunkt ist Mittelpunkt der Raumdiagonalen R(0|0|2)
Überprüfe die Werte am Rand
f(2) = 8/3 und f(-2) = 4/3
Damit wird der Tiefpunkt zum globalen Minimum,
und der Hochpunkt wird gemeinsam mit dem rechten Rand zum globalen Maximum
4. Quader
Grundfläche G = 8, Volumen V = G*h=32
Flächenmittelpunkt ist der Mittelpunkt der Flächendiagonalen M(1|1|2)
Raummittelpunkt ist Mittelpunkt der Raumdiagonalen R(0|0|2)
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